گروه پژوهشی داده پردازان شریف

مسئله زندانبان یکی از مسائل ساده ودر عین حال جالب احتمالات است:

زندانبان یک زندان که در آن احمد، رضا و بهرام زندانی اند تنها کسی است که میداند یکی از این سه نفر محکوم به اعدام شده و دو نفر دیگر آزاد می شوند. احمد مصمم است نامه ای به همسر خود نوشته ازاو بخواهد تا در صورت محکومیت او پیغامش را به رضا یا بهرام، هرکدام آزاد شدند برساند ( توجه کنید چون تنها یک نفر محکوم به مرگ است بنابراین از دو نفر دیگریعنی رضا و بهرام بالاخره یکی آزاد می شود) لذا احمد از زندانبان خواهش می کند که به او بگوید از دو نفر دیگر کدامیک آزاد می شوند. زندانبان از دادن پاسخ امتناع کرده به او می گوید دادن پاسخ هم ارز افزایش محکومیت او از 3/1 به 2/1 است. بنابراین مایل نیست موجب ناراحتی بیشتر او شود. این موضوع برای احمد عجیب می آید و به طور شهودی نیز قبول آن برایش مشکل است. ازخود سوال می کند که پاسخ زندانبان اطلاع جدیدی به او نمی دهد، پس چرا این پاسخ باید احتمال محکومیت او را افزایش دهد؟

 

احمد از پیش میداند که یکی از دو نفر آزاد می شوند. بنابراین اطلاع از نام کسی که آزاد میشود نباید احتمال محکومیت او را تغییر دهد.

 

بااستفاده از قضیه بیز به سادگی معلوم می شود که حتی اگر زندانبان نام یکی از آنهایی را که آزاد می شوند به احمد بگوید باز هم احتمال محکوم شدن احمد همان 3/1 است.

 

فرض کنید که C,B,A  به ترتیب پیشامد محکوم شدن احمد، بهرام و رضا و J این پیشامد باشد که زندانبان مثلا بگوید “رضا آزاد می شود” داریم:

 

 

 

A).P(A)  /  P(J|A).P(A) + P(J|B).P(B) + P(J|C).P(C)  ? P(J  J) =? P(A

 

 3/1=3/1*0 + 3/1*1 + 3/1*2 /1   / 3/1*2/1=

 

 

 

به همین ترتیب اگر مثلا K را این پیشامد فرض کنیم که زندانبان مثلا بگوید”بهرام آزاد می شود” آنگاه باز هم به دست می آوریم:     P(A|K)= 1/3

 

در این مسئله ممکن است صرف نظر از جواب رسمی مسئله که با استفاده از قضیه بیز بدست می آید بخواهیم از نقطه نظر شهودی نیز مثلا اشکال گفته زندانبان را دریابیم.

 

 او می گوید با وجود سه نفر احتمال محکومیت هرکدام 3/1 است، اما با فاش شدن نام یکی از آنهایی که آزاد می شوند  احتمال محکومیت هر یک از دو نفر دیگر از 3/1 به 2/1 تغییر می کند.شاید دلیل قاطعی که می تواند موضوع را مشخص کند توجه به تفاوتهای مقادیر  p(J|A) وp(J|B) است که در فرمول بالا ملاحظه شد. بازیکنان بازی بریج این اصل را اصل “مقید” گویند. بنا به اصل بیان مقید از اظهارنظر طرف مقابل هیچگونه اطلاع مفیدی بدست نمی آید.

 

به وضوح احتمال بیان مقید بیش از احتمال بیان آزاد است و اشتباه همه آنهایی که سعی در حل چنین مسائلی دارند این است که  این نکته را در نظر نمی گیرند. در مسئله زندانبان وقتی قرار است بهرام محکوم شود احتمال اینکه زندانبان بگوید ” رضا آزاد می شود” دو برابر بیشتر از وقتی است که قرار است احمد محکوم شود.( قید در بیان زندانبان این است که وقتی قرار است بهرام محکوم شود ناچار است بگوید “رضا” و آزادی بیان زندانبان در این است که وقتی قرار است احمد محکوم شود میتواند بگوید “بهرام” یا “رضا”)

 

در پارادوکس زندانبان و جواب آن زیاد بحث شده است، اما علی رغم تمام این بحث ها و جدلها وقتی این مسئله در یک مجله بازگو شد و نویسنده مقاله( زو وایفل) جواب درست آن را بیان کرد به شدت مورد انتقاد و مواخذه سه ریاضیدان قرار گرفت. در شماره 17 فوریه سال   1991 همان مجله نویسنده مقاله می نویسد: تا این تاریخ نزدیک 2000 نامه در مورد این مطلب دریافت کرده است که 92% کل خوانندگان و 65%  کسانی که تحصیلات دانشگاهی داشته اند، نظری برخلاف نظر او عنوان کرده اند.